棒球博弈论：投手首球投好球的概率
开局一球，胜负已伏笔。对投手而言，首球是压低打者预期得分的最划算节点；对打者而言，则是试探与狙击的分水岭。当我们用博弈论看“首球好球率”，问题不再是“该不该攻”，而是“用多大概率在好球带里攻”，以让对手无法预测、保持均衡。
设投手选择“首球进区”或“边缘试探”，打者选择“挥”或“等”。不同组合对应不同的期望值：打者若不挥而吃到好球，投手立刻获利；若打者逮到可打好球，风险上升；若投手丢出边缘坏球，打者不挥则免费+1球。均衡思想要求双方采用“混合策略”，让对手在各自决策间无差异。于是存在一个最优首球投好球概率 p，使打者在“挥/不挥”间刚好犹豫。其近似关系可写为：p ≈（坏球带来的打者收益增量）/（好球降低的打者收益 + 坏球带来的收益）。直观地说，首球坏球越伤，投手越该提高进区概率；反之则降低。
影响 p 的关键变量包括：投手的区域命中率与走位控球、打者首球挥棒率与接触质量、球种暴露与对位策略、裁判边角判定倾向、以及比分与垒况对“预期得分差”的权重。基于历史回合构建统计模型（可用分段RE或简化run value），就能估计不同对位下的最优 p。
例如，某场景的历史数据表明：首球好球相较首球坏球，使打者“回合期望得分”下降0.06，而首球坏球则增加0.08。则有 p ≈ 0.08/(0.06+0.08) ≈ 0.57。这意味着对该打者与该投手球路组合，最优策略是以约57%的概率进区：既不机械抢好球，也不过度试探，逼迫打者在“抢首球”与“耐心等球”之间无差别。
落地到对位微调：对首球挥棒率高、长打威胁大的强打者，投手可在两好球可制造的后手空间有限时适度下调 p，增加边缘诱导；对耐心型打者则上调 p，用高质量可控球种快速抢前位。无论何种对手，核心结论是：在均衡中，投手的首球投好球概率并非常数，而应随打者预期与好坏球的“预期得分差”动态调整。当这种“不可预测的稳定”建立后，首球才真正成为为整打席铺路的策略起点。
